I Frattali - Matematica e Scienze - Curiosità Matematiche

I Frattali

Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse proseguendo all'infinito. I frattali sono esempi di "ricorsione", ovvero la proprietà che ha un sistema di essere composto da potenzialmente infinite unità simili tra loro. Strettamente legato alla ricorsione ed ai frattali è quindi il principiò dell'auto-similarità, ovvero la proprietà di un oggetto di essere simile alle sue parti. Le costruzioni generate dai frattali possiedono un'inaspettata bellezza tale che viene difficile immaginare che dietro di esse ci sia la matematica.

Frattali più famosi

La curva di Von Koch, il triangolo di Sierpinski e la spugna di Menger

La curva di Von Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca la descrizione. Il suo algoritmo è diviso in tre semplici passi: 

1. Dividere un segmento di qualsiasi lunghezza in tre parti uguali;
2. Sostituire il segmento centrale con due segmenti identici che costituiscano un triangolo equilatero;
3. Ripetere dal punto 1 per ognuno dei segmenti attuali.

Sottostanti le prime sei iterazioni della curva di Von Koch.

Se sostituiamo al segmento iniziale un triangolo equilatero, otterremo invece il fiocco di neve di Von Koch. 

Possiamo notare di come la curva di Von Koch sia un perfetto esempio di auto-similarità: anche se la ingrandiamo all'infinito, la parte ingrandita sarà sempre simile a tutta la curva.

Altri due frattali che seguono un principio simile alla curva di Von Koch sono il triangolo di Sierpinski (che possiede inoltre la particolarità di non dover necessariamente avere come base un triangolo, ma una figura qualsiasi) e la spugna di Menger, che segue lo stesso processo di costruzione del triangolo di Sierpinski ma nelle tre dimensioni.

Gli insiemi di Julia e Mandelbrot

Gli insiemi di Julia e l'insieme di Mandelbrot, scoperti rispettivamente dai matematici Gaston Julia (1893 - 1978) e Benoit Mandelbrot (1924 - 2010), sono grafici di particolari funzioni nei numeri complessi che presentano aspetti frattali incredibilmente affascinanti. Spiegherò solamente ciò che è necessario sapere per capire come essi vengono formati; dedicherò futuri articoli alla spiegazione di eventuali argomenti poco chiari.

Per prima cosa serve sapere che quando si parla di numeri complessi ci si riferisce ad un sistema bidimensionale, quindi un piano, invece che la linea unidimensionale dei numeri reali. Partiamo da un qualsiasi numero complesso denominato Z e creiamo una sequenza numerica elevandolo al quadrato, aggiungendo al risultato un qualsiasi altro numero complesso che rimarrà costante denominato c e ripetiamo tali passaggi una quantità di volte indefinita. In termini matematici si scrive:

Z_n+1 = Z_n² + c

I numeri ottenuti ripetendo questo processo corrispondono a punti sul piano dei numeri complessi e se li congiungiamo in ordine con una linea dritta possiamo notare che il grafico è più o meno stabile al variare di Z. Definiamo come stabilità il numero di iterazioni necessarie affinché la posizione dei punti sul piano possa essere considerata casuale; con zero iterazioni è completamente instabile mentre con infinite iterazioni è completamente stabile. Ad ogni diverso valore di c è associata una diversa mappa della stabilità del grafico e tali mappe sono gli insiemi di Julia. Solitamente si associa un diverso colore ad un diverso livello di stabilità. Con tale colorazione e con la loro sorprendente auto-similarità gli insiemi di Julia appaiono come disegni scintillanti dalle forme curve e armoniose, come se fossero composizioni artistiche di gemme preziose. 

Benoit Mandelbrot si chiese con Z = 0 quali valori di c risultassero in grafici stabili o meno. Costruendo una mappa utilizzando lo stesso criterio degli insiemi di Julia ma seguendo i parametri dati da Mandelbrot si ottiene il celeberrimo omonimo insieme, il quale presenta anch'esso le caratteristiche dei frattali e possiede un'interessante particolarità: è anche una mappa degli insiemi di Julia, in quanto ogni punto dell'insieme di Mandelbrot associato ad un valore di c è simile all'insieme di Julia per il quale c si trova nello stesso punto. Per rendere più chiara la distinzione tra gli insiemi di Julia e l'insieme di Mandelbrot bisogna notare che nei primi è Z che varia e definisce la stabilità e invece c rimane costante in ognuno di essi mentre nel secondo Z rimane fisso ed è c a variare e definire la stabilità. 

Per rendersi conto della bellezza infinita dell'insieme di Mandelbrot su youtube è possibile trovare molteplici video in cui esso viene ingrandito; di seguito inserisco il link di un esempio. 

https://www.youtube.com/watch?v=Iy0SvjicKQs&ab_channel=ClassicalMusicBox  

Frattali nella natura

Sono numerosi gli elementi della natura che si possono descrivere con i frattali. Un esempio molto famoso è la felce, individuato dal matematico inglese Micheal Barnsley (1946): si noti come sia simile alle sue foglie, le quali sono a loro volta simili alle loro foglioline, le quali sono simili alle loro parti più piccole e così via.

Anche gli alberi presentano una forma frattale, soprattutto l'abete, dove l'intera pianta è simile ad un ramo, il quale è simile ad un rametto eccetera. In particolare, per quanto non sia un vero e proprio elemento naturale, trovo molto bello l'esempio dell'albero pitagorico, un albero frattale costituito da triangoli rettangoli sui quali lati sono costruiti quadrati.

Sono poi frattali i fiocchi di neve, in modo approssimativo le montagne e infine le coste per via della loro auto-similarità sono protagoniste di un paradosso, esaminato in seguito da Mandelbrot, il quale afferma che la lunghezza della linea costiera dipende dalla scala con la quale viene misurata.

Per chi conosce l'inglese e volesse saperne di più sui frattali e sulle bellezze della matematica consiglio di visitare il canale youtube "Numberphile", dal quale ho appreso molto su tali argomenti. Di seguito il link.

https://www.youtube.com/c/numberphile

Fonti: wikipedia.org; youtube.com/c/numberphile

Scritto e redatto da Gennaro Fregola